Saturday, 28 November 2020

คณิตศาสตร์ของโน้ตดนตรี

มนุษย์รู้จักโน้ตดนตรีมายาวนาน มนุษย์ยุคโบราณมีการนำท่อกลวงเจาะรู และเส้นขึงตึงมาเป่าและดีดเป็นเครื่องดนตรีตั้งแต่สมัยก่อนประวัติศาสตร์ ต่อมาพีทาโกรัสเป็นคนแรกที่พบว่าโน้ตดนตรีสามารถหาจากความสัมพันธ์ทางคณิตศาสตร์ได้

Monochord

อุปกรณ์ monochord ถูกประดิษฐ์ขึ้นมาเพื่อศึกษาเกี่ยวกับเสียง monochord จะมีที่เลื่อนคล้ายลิ่มอยู่ตรงปลาย และมีตุ้มถ่วงอยู่ด้านหนึ่งไว้ถ่วงเส้นลวดหรือเส้นใดๆ โดยมีหมุดยึดเส้นดังกล่าวอีกทางนึง เมื่อเลื่อนที่เลื่อนหรือเปลี่ยนตุ้มถ่วง เสียงที่เกิดขึ้นจะเปลี่ยนไป

Pythagorean Tuning

พีทาโกรัสอาศัยเส้นลวดบนอุปกรณ์ monochord พบว่าเมื่อแบ่งความยาวของเส้นลวดบน monochord เป็นสองส่วนเท่ากัน เสียงที่เกิดจากการดีดเส้นทั้งสองจะพ้องกันเป็นโน้ตเดียวกัน

monochord ภาพ Public Domain

เพิ่มเติม ที่เราทราบว่าเป็นโน้ตตัวเดียวกันเพราะเมื่อนำเส้นลวดยาวไม่เท่ากันหลายๆเส้นมาแบ่งครึ่งแล้วดีดตามลำดับจะได้ทำนองเดียวกันกับเส้นลวดที่ไม่ได้แบ่งครึ่ง

ภาพ CC BY-SA 3.0

และถ้าแบ่งความยาวของเส้นลวดบน monochord เป็นสามส่วนเท่าๆกัน เสียงก็สั่นพ้องกันกับโน้ตแรกแต่เป็นคนละโน้ต


ภาพ CC BY-SA 3.0

เพิ่มเติม เราสามารถทำการแบ่งเส้นลวดออกเป็น 1/3, 1/4, 1/5… ไปเรื่อยๆ เสียงก็ยังมีความสั่นพ้องกันแต่อาจลดระดับลงบ้าง

ภาพ CC BY-SA 3.0

อาศัยอัตราส่วนสองค่าคือ 2/1 และ 3/2 พีทาโกรัสจึงสร้างสเกลดนตรีอย่างง่ายได้ เรียกว่า Pythagorean Tuning

เพิ่มเติม ในฟิสิกส์เราทราบว่าเสียงที่ความถี่เป็น n เท่าจะฟังกลมกล่อมกับเสียงความถี่ตั้งต้นเพราะทุกๆ n คลื่นจะซ้อนทับกับความถี่ตั้งต้นเสมอ

เพิ่มเติม เราสามารถหาโน้ตความถี่ 3/2f จากค่าเฉลี่ยทางคณิตศาสตร์ได้เช่นกัน เมื่อมีความถี่สองค่าคือ f และ 2f ค่าเฉลี่ยคือ f+2f/2= 3f/2 นั้นเอง

Pythagorean Scale

เนื่องจากเราทราบแล้วว่าถ้าเรามีโน้ตที่มีความถี่เป็น 3f/2 โน้ตที่ได้จะให้เสียงที่กลมกล่อมกันดังนั้น ถ้าเราคำนวณหาโน้ตจากอัตราส่วน 3f/2 ไปเรื่อยๆเราจึงน่าจะได้โน้ตที่ฟังกลมกล่อมมากกว่าหนี่งโน้ตดนตรี

พีทาโกรัสจึงสร้างสเกลออกมาคือ

…, 1, 3/2, (3/2)^2, (3/2)^3, (3/2)^4, (3/2)^5, (3/2)^6 …

หรือ

…, 1, 3/2, 9/4, 27/8, 81/16, 243/32, 729/64…

จากที่ทราบว่าทุกสองเท่าและครึ่งหนึ่งของอัตราส่วนคือโน้ตตัวเดียวกัน เมื่อแปลงอัตราส่วนให้อยู่ระหว่างอัตราส่วน 1 ถึง 2 แล้วเรียงลำดับจากค่าน้อยไปมากจะได้

1, 9/8, 81/64, 729/512, 3/2, 27/16, 243/128, 2

ระยะห่างโน้ตเป็น

9/8, 9/8, 9/8, 243/256, 9/8, 9/8, 243/256

หรือ

whole, whole,whole, half, whole, whole, half

เพิ่มเติม เราสามารถคำนวณหาโน้ตในสเกลเพิ่มได้มากกว่า 7 โน้ต เช่น ถ้าเราคำนวณอีก 5 ตัวโดยยังมีระยะห่างแบบเต็มขั้นและครึ่งขั้นอยู่ จะได้สเกล 12 โน้ต

1, 2187/2048, 9/8, 19683/16384, 81/64, 177147/131072, 729/512, 3/2, 6561/4096, 27/16, 59049/32768, 243/128, 2

เพิ่มเติม ในสมัยพีธาโกรัสนั้น เขาเลือกโน้ตเพียง 7 ตัวเพื่อใช้ในการคำนวณโน้ตใน tetrachord แต่เชื่อกันว่าเขาสอนลูกศิษย์ด้วยสเกลโน้ตแบบโบราณไม่ใช่ Pythagorean Scale

ระยะห่างโน้ตดนตรีไม่เท่ากัน

การเลือกโน้ตดนตรีด้วยการเพิ่ม/ลดโน้ตทีละ 3/2 เท่าทำให้เกิดระยะห่างเป็น

whole, whole,whole, half, whole, whole, half

และเป็นระยะห่างของ F lydian mode ในดนตรีสากลปัจจุบันนั่นเอง

ทำไมสเกลดนตรีถึงมี 12 โน้ต

เราจะพบว่าถ้าเราคำนวณหาโน้ตดนตรีมา 12 ตัวโน้ตเราจะได้โน้ตที่ 12 มีค่าเป็น (3/2)^12 = 129.75 ซึ่งมีค่าประมาณ 2^7 = 128 ดังนั้นโน้ต 12 ตัวจึงเป็นจำนวนแรกที่ทำให้สเกลดนตรีมีค่าใกล้โน้ตแรกมากที่สุด

เพิ่มเติม เราสามารถคำนวณหาโน้ตต่อ จะได้สเกล 17 โน้ต และ 29 โน้ตและต่อไปได้เรื่อยๆ แต่การทำเครื่องดนตรีที่มีโน้ตดนตรีมากขนาดนั้นอาจใช้งานไม่สะดวก

ทำไมโน้ตดนตรีเริ่มด้วย C และทำไมโน้ตดนตรี A เป็นลา

เชื่อว่าดนตรีโบราณคนคิดวิธีเรียงโน้ตดนตรีโบราณเกี่ยวข้องกับนักบวช จึงมักใช้บันไดเสียงแบบ Aeolian mode ที่เริ่มโน้ตด้วยตัวลา และเป็นบันไดเสียงทางไมเนอร์ ซึ่งต่อมาบันไดเสียงเมเจอร์เป็นที่นิยมและโน้ตโดบนเปียโนสังเกตง่ายจึงใช้บันไดเสียง C Major เป็นหลัก

อีกทฤษฎีกล่าวว่า Bothius ผู้คิดระบบตัวอักษรแทนโน้ตใช้โน้ตต่ำสุดในสมัยนั้นคือตัวลา เพราะเสียงต่ำโดยเฉลี่ยของผู้ชายสมัยนั้นคือโน้ตดังกล่าว

ต่อมาเมื่อมีคนรู้จักสเกลเมเจอร์ พบว่า C Major ไม่มีชาร์ป แฟลท การใช้โน้ตโดเป็นโน้ตแรกในการเรียนสเกลดนตรีจึงแพร่หลาย เพราะการหาโน้ตโดบนเปียโนง่ายดาย

สเกลดนตรีธรรมชาติ (Harmonic)

ตามที่กล่าวแล้วว่าทุกๆฮาร์โมนิคคี่จะเกิดเสียงใหม่ หากเรานำโน้ตใหม่นั้นมาเรียงเป็นสเกลจะได้บันไดเสียงธรรมชาติขึ้น

เช่นโน้ต 7 ตัวเป็น


1:1
9:85:421:163:227:1615:82:1

สเกลแบบแบ่งเท่า (Equal Tempered Scale)

ทั้งสองสเกลข้างต้นไม่สามารถทำการเปลี่ยนสเกลขึ้นลงได้อิสระ เพราะเมื่อทำการเปลี่ยนสเกลจะมีระยะห่างที่ผิดไป ทางออกของเครื่องดนตรีแบบ Fixed Pitch Instrument จึงปรับตั้งเสียงดนตรีให้ห่างเท่ากัน ให้ผลน่าพอใจระดับหนึ่งเพราะระยะห่างไม่ต่างจากสเกลทั้งสองมากนัก แต่ยังให้เสียงที่แยกไม่ออกง่ายๆ

ที่มา https://en.wikipedia.org/wiki/Pythagorean_tuning

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Just_intonation

https://en.wikipedia.org/wiki/Harmonic_series_(music)

https://en.wikipedia.org/wiki/Equal_temperament

https://www.quora.com/Why-does-the-music-scale-start-on-C-instead-of-A?ch=10&share=df7e8d8e&srid=WQA5r