Monday, 25 October 2021

คณิตศาสตร์ของโน้ตดนตรี

มนุษย์รู้จักโน้ตดนตรีมายาวนาน มนุษย์ยุคโบราณมีการนำท่อกลวงเจาะรู และเส้นขึงตึงมาเป่าและดีดเป็นเครื่องดนตรีตั้งแต่สมัยก่อนประวัติศาสตร์ ต่อมาพีทาโกรัสเป็นคนแรกที่พบว่าโน้ตดนตรีสามารถหาจากความสัมพันธ์ทางคณิตศาสตร์ได้

การค้นพบความสัมพันธ์ระหว่างคณิตศาตร์และดนตรี

Monochord

อุปกรณ์ monochord ถูกประดิษฐ์ขึ้นมาเพื่อศึกษาเกี่ยวกับเสียง monochord จะมีที่เลื่อนคล้ายลิ่มอยู่ตรงปลาย และมีตุ้มถ่วงอยู่ด้านหนึ่งไว้ถ่วงเส้นลวดหรือเส้นใดๆ โดยมีหมุดยึดเส้นดังกล่าวอีกทางนึง เมื่อเลื่อนที่เลื่อนหรือเปลี่ยนตุ้มถ่วง เสียงที่เกิดขึ้นจะเปลี่ยนไป

Pythagorean Tuning

พีทาโกรัสอาศัยเส้นลวดบนอุปกรณ์ monochord พบว่าเมื่อแบ่งความยาวของเส้นลวดบน monochord เป็นสองส่วนเท่ากัน เสียงที่เกิดจากการดีดเส้นทั้งสองจะพ้องกันเป็นโน้ตเดียวกัน และมีอัตราส่วนเป็น 2:1 ของโน้ตแรก

monochord ภาพ Public Domain

เพิ่มเติม ที่เราทราบว่าเป็นโน้ตตัวเดียวกันเพราะเมื่อนำเส้นลวดยาวไม่เท่ากันหลายๆเส้นมาแบ่งครึ่งแล้วดีดตามลำดับจะได้ทำนองเดียวกันกับเส้นลวดที่ไม่ได้แบ่งครึ่ง

ภาพ CC BY-SA 3.0

และถ้าแบ่งความยาวของเส้นลวดบน monochord เป็นสามส่วนเท่าๆกัน เสียงก็สั่นพ้องกันกับโน้ตแรกตามรูปด้านบน


ภาพ CC BY-SA 3.0

เพิ่มเติม เราสามารถทำการแบ่งเส้นลวดออกเป็น 1/3, 1/4, 1/5… ไปเรื่อยๆ เสียงก็ยังมีความสั่นพ้องกันแต่อาจลดระดับลงบ้าง

ภาพ CC BY-SA 3.0

สรุปการค้นพบที่ได้จากการทดลองของพีธากอรัส

  1. เราจะทราบว่าเมื่อแบ่งเชือกเป็น n ส่วน เท่าๆกัน เสียงที่ได้จากการดีดพร้อมกับการดีดเส้นที่ไม่แบ่งจะกลมกลืนกันเสมอ

เพิ่มเติม ในฟิสิกส์เราทราบว่าเสียงที่ความถี่เป็น n เท่าจะฟังกลมกลืนกับเสียงความถี่ตั้งต้นเพราะทุกๆ n คลื่นจะซ้อนทับกับความถี่ตั้งต้นเสมอ

2. โน้ตที่กลมกลืนกับโน้ตตั้งต้นที่สุดคือโน้ตที่มีอัตราส่วน 2:1 และเป็นโน้ตเดียวกับโน้ตแรกแต่ระดับเสียงสูงกว่า

Pythagorean Tuning

พีธาโกรัสทดลองหาโน้ตจากการแบ่งเชือกออกเป็นสามส่วนเท่าๆกัน จนได้อัตราส่วน 3:2 อาศัยอัตราส่วนสองค่าคือ 2/1 และ 3/2 พีทาโกรัสจึงสร้างสเกลดนตรีอย่างง่ายได้ เรียกว่า

Pythagorean Scale

เนื่องจากเราทราบแล้วว่าถ้าเรามีโน้ตที่มีอัตราส่วนเป็น 3:2 โน้ตที่ได้จะให้เสียงที่กลมกล่อมกัน ดังนั้นถ้าเราคำนวณหาโน้ตจากอัตราส่วน 3:2 ไปเรื่อยๆเราจึงน่าจะได้โน้ตที่ฟังกลมกล่อมมากเพิ่มขึ้น

พีทาโกรัสจึงสร้างสเกลออกมาคือ

…, 1, 3/2, (3/2)^2, (3/2)^3, (3/2)^4, (3/2)^5, (3/2)^6 …

หรือ

…, 1, 3/2, 9/4, 27/8, 81/16, 243/32, 729/64…

อาจคำนวณกลับเป็น

…(2/3)^6, (2/3)^5, (2/3)^4, (2/3)^3, (2/3)^2, 1,…

ก็ได้

จากที่ทราบว่าทุกสองเท่าและครึ่งหนึ่งของอัตราส่วนคือโน้ตตัวเดียวกัน เมื่อแปลงอัตราส่วนให้อยู่ระหว่างอัตราส่วน 1 ถึง 2 แล้วเรียงลำดับจากค่าน้อยไปมากจะได้

1, 9/8, 81/64, 729/512, 3/2, 27/16, 243/128, 2

จากอัตราส่วนข้างบนจะเห็นว่า เมื่อเราเรียงโน้ตจากน้อยไปมากแล้ว โน้ตตัวที่สองไปจะมีระยะห่าง(Interval) จากโน้ตตัวแรกเป็น 9:8 ในขณะที่เมื่อคำนวณไปจนถึงโน้ตตัวที่ 6 และ 7 เราจะได้ระยะห่างใหม่เป็น 256:243 เมื่อวัดระยะห่างแต่ละโน้ตจะได้

ระยะห่างโน้ตเป็น

9/8, 9/8, 9/8, 256/243, 9/8, 9/8, 256/243

หรือ

whole, whole,whole, half, whole, whole, half

หากเราทำการคำนวณหาตัวโน้ตเพิ่มเป็น (3/2)^7, (3/2)^8, (3/2)^9… แล้วนำมาจัดให้อยู่ในอัตราส่วนระหว่าง 1 และ 2 เราจะพบว่าระยะห่าง (Interval) ครึ่งเสียงและเต็มเสียงจะปรากฏอยู่ตลอดเวลา แม้ระยะห่าง(Interval)จะไม่เท่าเดิม

เช่น โน้ต 12 ตัว

1, 2187/2048, 9/8, 19683/16384, 81/64, 177147/131072, 729/512, 3/2, 6561/4096, 27/16, 59049/32768, 243/128, 2

มีระยะห่างเป็น

2187/2048, 256/243, 2187/2048, 256/243, 2187/2048, 256/243, 256/243, 2187/2048, 256/243, 2187/2048, 256/243, 256/243

มีครึ่งเสียงเป็น 256/243 และเต็มเสียงเป็น 2187/2048

เพิ่มเติม โน้ต 7 ตัวเป็นจำนวนน้อยสุดที่ทำให้เกิดระยะห่างครึ่งเสียงและเต็มเสียง

เพิ่มเติม ในสมัยพีธาโกรัสนั้น เขาเลือกโน้ต 7 ตัว(รวมกับ octave เป็น 8 ตัว) เพราะเป็นโน้ตน้อยสุดที่สามารถทำให้เกิดระยะห่างสองค่าคือ 9:8 และ 256:243 ขึ้น อย่างไรก็ตามเชื่อกันว่าระหว่างที่เขามีชีวิต เขาไม่สอนลูกศิษย์ด้วยสเกล Pythagorean Scale แต่สอนสเกลดนตรีโบราณแทน

เพิ่มเติม ถ้าเราเลือกใช้โน้ต 5 ตัว เราจะได้ Pentatonic Scale คือมีโน้ตทั้งสเกล 6 ตัว ส่วนบน 3 ตัว ส่วนล่าง 3 ตัว ซึ่งยังมีใช้ในดนตรีพื้นบ้านในหลายประเทศทั่วโลก หรือใช้โน้ต 4 ตัวเช่นในเครื่องดนตรีโบราณที่มีสาย 4 เส้น

กำเนิด Tetrachord

ถ้าเรานำระยะห่างมาเรียงต่อกันเป็นรูปแบบต่างๆ เราจะพบว่า ต้องอาศัยโน้ต 4 ตัว เป็นจำนวนน้อยที่สุดที่จะทำให้เราใช้ระยะห่างครึ่งเสียงและเต็มเสียงได้มากกว่า 2 รูปแบบ

เพราะถ้าเราใช้ 1 โน้ตจะไม่เกิดโน้ตที่แตกต่างกัน ขณะที่ 2 โน้ตก็จะเรียงได้ 2 แบบคือ 9:8 และ 256:243 (ไม่สามารถใช้ระยะห่างทั้งครึ่งเสียงและเต็มเสียงได้) ส่วน 3 โน้ตจะได้ 9:8, 256:243 และ 256:243, 9:8 (เรียงได้เพียง 2 แบบเท่านั้น เมื่อนำไปใช้สร้างสเกลจะได้สเกล Pentatonic)

ระยะห่างโน้ตดนตรีไม่เท่ากัน

การเลือกโน้ตดนตรีด้วยการเพิ่ม/ลดโน้ตทีละ 3/2 เท่าทำให้เกิดระยะห่างเป็น

whole, whole,whole, half, whole, whole, half

และเป็นระยะห่างของ F lydian mode ในดนตรีสากลปัจจุบันนั่นเอง

ทำไมสเกลดนตรีถึงมี 12 โน้ต

เนื่องจากดนตรีปัจจุบันได้รับอิทธิพลจาก Pythagorean Scale และนักดนตรีหลังยุคพีธากอรัสนิยมแบ่งโน้ตที่มีระยะ whole ออกให้เท่าๆกัน จึงทำให้จำนวนโน้ตระหว่างโน้ตที่มีอัตราส่วน 1:1 ถึง 2:1 มี 12 โน้ตนั่นเอง

และเราจะพบว่าถ้าเราคำนวณหาโน้ตดนตรีมา 12 ตัวโน้ต เราจะได้โน้ตที่ 12 มีค่าเป็น (3/2)^12 = 129.75 ซึ่งมีค่าประมาณ 2^7 = 128 ดังนั้นโน้ต 12 ตัวจึงเป็นจำนวนแรกที่ทำให้สเกลดนตรี Pythagorean Scale มีค่าใกล้โน้ตแรกมากที่สุด

เพิ่มเติม เราสามารถคำนวณหาโน้ตต่อ จะได้สเกล 12 โน้ต และ 17 โน้ต หรือต่อไปได้เรื่อยๆ แต่การทำเครื่องดนตรีที่มีโน้ตดนตรีมากขนาดนั้นอาจใช้งานไม่สะดวก

ทำไมโน้ตดนตรีเริ่มด้วย C และทำไมโน้ตดนตรี A เป็นลา

เชื่อว่าดนตรีโบราณคนคิดวิธีเรียงโน้ตดนตรีโบราณเกี่ยวข้องกับนักบวช จึงมักใช้บันไดเสียงแบบ Aeolian mode ที่เริ่มโน้ตด้วยตัวลา และเป็นบันไดเสียงทางไมเนอร์ ซึ่งต่อมาบันไดเสียงเมเจอร์เป็นที่นิยมและโน้ตโดบนเปียโนสังเกตง่ายจึงใช้บันไดเสียง C Major เป็นหลัก

อีกทฤษฎีกล่าวว่า Bothius ผู้คิดระบบตัวอักษรแทนโน้ตใช้โน้ตต่ำสุดในสมัยนั้นคือตัวลา เพราะเสียงต่ำโดยเฉลี่ยของผู้ชายสมัยนั้นคือโน้ตดังกล่าว

ต่อมาเมื่อมีคนรู้จักสเกลเมเจอร์ พบว่า C Major ไม่มีชาร์ป แฟลท การใช้โน้ตโดเป็นโน้ตแรกในการเรียนสเกลดนตรีจึงแพร่หลาย เพราะการหาโน้ตโดบนเปียโนง่ายดาย

สเกลดนตรีธรรมชาติ (Harmonic)

ตามที่กล่าวแล้วว่าทุกๆฮาร์โมนิคคี่จะเกิดเสียงใหม่ หากเรานำโน้ตใหม่นั้นมาเรียงเป็นสเกลจะได้บันไดเสียงธรรมชาติขึ้น

เช่นโน้ต 7 ตัวเป็น


1:1
9:85:421:163:227:1615:82:1

สเกลแบบแบ่งเท่า (Equal Tempered Scale)

ทั้งสองสเกลข้างต้นไม่สามารถทำการเปลี่ยนสเกลขึ้นลงได้อิสระ เพราะเมื่อทำการเปลี่ยนสเกลจะมีระยะห่างที่ผิดไป ทางออกของเครื่องดนตรีแบบ Fixed Pitch Instrument จึงปรับตั้งเสียงดนตรีให้ห่างเท่ากัน ให้ผลน่าพอใจระดับหนึ่งเพราะระยะห่างไม่ต่างจากสเกลทั้งสองมากนัก แต่ยังให้เสียงที่แยกไม่ออกง่ายๆ

ที่มา https://en.wikipedia.org/wiki/Pythagorean_tuning

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Just_intonation

https://en.wikipedia.org/wiki/Harmonic_series_(music)

https://en.wikipedia.org/wiki/Equal_temperament

https://www.quora.com/Why-does-the-music-scale-start-on-C-instead-of-A?ch=10&share=df7e8d8e&srid=WQA5r