Monday, 22 July 2024

ประวัติย่อของคณิตศาสตร์ ฉบับสมบูรณ์ 50000 ปี

สมัยก่อนประวัติศาสตร์

มนุษย์รู้จักปริมาณมากน้อยและแยกปริมาณหนึ่งกับสองได้โดยสัญชาตญาณ แต่ต้องใช้เวลาอีกยาวนานกว่าจะมีการเข้าใจความคิดรวบยอดและใช้คำ สัญลักษณ์เรียกจำนวนสองต่อมา

หลักฐานการรู้จักการนับจำนวนของมนุษย์มีดังนี้

ราว 44,200 – 43,000 ปีก่อนค.ศ. มนุษย์ได้เริ่มทำสัญลักษณ์การนับจำนวนลงบน Lebomboo Bone

ต่อมาราว 20,000 – 18,000 ปีก่อนค.ศ. มีการบันทึกการนับลงบน Ishango bone


Ishango bone
20000 – 18000 ปีก่อนค.ศ.


คณิตศาสตร์ยุคสุเมเรียนและบาบิโลเนียน

ในดินแดน Mesopotamia ที่ตั้งอยู่ระหว่างแม่น้ำ Tigris กับ Euphrates มีหลักฐานแสดงให้เห็นว่า ชาว Sumerian รู้จักนับเลขเป็นนานกว่า 4,000 ปีแล้ว

มีการค้นพบแผ่นดินเหนียวบันทึกตารางผลคูณ อายุ 2,600 ปีก่อนค.ศ. ของชาว สุเมเรียน ตารางผลหาร ตารางรากที่สอง ตารางรากที่สาม ตารางผลยกกำลัง ในอายุไล่เรียงกัน ดังรูป

แผ่นดินเหนียวชาวสุเมเรียนแสดงตารางการคูณเลข
2,600 ปีก่อนค.ศ.

หนึ่งในอารยธรรมคณิตศาสตร์ของชาวสุเมเรียนที่ยังหลงเหลือมายังปัจจุบันคือ การใช้เลขฐาน 60 ซึ่งเรายังใช้แบ่งเวลาหนึ่งชั่วโมงเป็น 60 นาที และ หนึ่งนาทีเป็น 60 วินาที และมุมในวงกลมมี 360 องศานั่นเอง


คณิตศาสตร์ยุคบาบิโลน

หลังความเสื่อมของชาวสุเมเรียน ผู้ที่เข้ายึดครองดินแดน Mesopotamia ก็คือชาวบาบิโลน ชาวบาบิโลนพัฒนาความรู้ทางคณิตศาสตร์ของชาวสุเมเรียนไปอีก ในสมัยของชาวบาบิโลนมีแผ่นดินเหนียวแสดงการแก้เชิงเส้น การใช้เศษส่วน การแก้สมการกำลังสอง สมการกำลังสาม การหาค่ารากที่สองของ 2 ถึง 5 ทศนิยม และยังมีแผ่นดินเหนียวอื่นที่บันทึกค่าการหารากที่สองถึงจำนวน 59 รากที่สามถึงจำนวน 32 การบันทึกค่า
π เท่ากับ 3 18 อีกด้วย

การหาค่ารากที่สองและสมการกำลังสองของชาวบาบิโลนเกิดขึ้นจากการวัดขนาดที่ดินและพบว่ามีการคูณกันของค่าที่ไม่ทราบสองหน จึงต้องพัฒนาสมการกำลังสองและการหาค่ารากที่สองขึ้น นี่เป็นการปฏิวัติวงการเรขาคณิต และพีชคณิตในสมัยนั้นทีเดียว

นอกจากนี้แผ่นดินเหนียว Plimpton 322  ยังแสดงว่าชาวบาบิโลนค้นพบทฤษฎีพีทาโกรัสก่อนชาวกรีกเป็นพันปี แม้มีผู้โต้แแย้งว่าแผ่นดินเหนียวบันทึกแบบทดสอบการเรียนเลขยกกำลังเฉยๆ

คณิตศาสตร์ยุคอียิปต์

เชื่อว่าชาวอียิปต์เริ่มใช้ระบบเลขฐานสิบเป็นชาติแรกๆตั้งแต่ 2,700 ปีก่อนค.ศ.หรือเก่าแก่กว่านั้น พวกเขาใช้ระบบการนับแบบ Sub Sahara Africa มีการค้นพบหนังสือคณิตศาสตร์สำคัญคือ Rhind Papyrus ที่มีอายุ 1,650 ปีก่อนค.ศ. ซึ่งอาจเป็นฉบับคัดลอกมาจาก ตำราของ Middle Kingdom เมื่อ 2.000 – 1,800 ปีก่อนค.ศ. มีเนื้อหาเกี่ยวกับเลขคณิตและเรขาคณิต นอกจากสูตรหาพื้นที่ วิธีคูณ หาร และเศษส่วนแล้วยังมีความรู้เรื่องจำนวนประกอบจำนวนเฉพาะ พีชคณิต เรขาคณิตและค่าเฉลี่ยฮาร์โมนิก รวมถึงตารางกรองจำนวนเฉพาะของ Eratosthenes และความรู้เกี่ยวกับทฤษฎี Perfect Number

อีกหลักฐานทางด้านคณิตศาสตร์ของชาวอียิปต์ได้แก่ Moscow Papyrus
มีอายุ 1,890 ปีก่อนค.ศ. ที่รวมเอาปัญหาทางคณิศาสตร์เพื่อความบันเทิงไว้ มีปัญหาสำคัญเช่น การหาปริมาตรของพิรามิดที่ถูกตัด

หลักฐานสุดท้ายคือ Berlin Papyrus 6619 (1,800 ปีก่อนค.ศ.) ที่แสดงว่าชาวอียิปต์สามารถแก้สมการพีชคณิตลำดับสองได้

นอกจากนี้ชาวอียิปต์ยังรู้ว่าพื้นที่วงกลมเป็น 89 ยกกำลังสองคูณเส้นผ่านศูนย์กลาง รวมถึงทฤษฎีพีทาโกรัสเช่นกัน

คณิตศาสตร์ยุคกรีก

คณิตศาสตร์ยุคกรีกคือคณิตศาสตร์ที่บันทึกเป็นภาษากรีกมีอายุระหว่าง 600 ปีก่อนค.ศ.ถึงค.ศ. 529 คณิศาสตร์ยุคกรีกมีลักษณะสำคัญคือใช้การพิสูจน์แบบนิรนัยโดยใช้ Axiom และนิยาม ซึ่งก่อนหน้ายุคกรีกจะเป็นการใช้เหตุผลแบบอุปนัยทั้งสิ้น

คณิตศาสตร์ยุคกรีกเริ่มต้นที่ Thales of Miletus (624 – 546 ปีก่อนค.ศ.) และ
 Pythagoras of Samos (582 – 507 ปีก่อนค.ศ.) Thales ใช้การพิสูจน์แบบนิรนัยกับเรขาคณิตจึงได้ชื่อว่าเป็นบิดาแห่งคณิตศาสตร์ Pytjagoras ก่อตั้งสำนัก Pythagorean เขาเชื่อว่าทุกอย่างคือตัวเลข และเป็นคนแรกที่ใช้ชื่อ Mathematics เรียกคณิตศาสตร์ และมีชื่อเสียงในการพิสูจน์ทฤษฎีบท Pythagoras

Plato 428/427 – 348/347 ปีก่อนค.ศ. ก่อตั้งสำนัก Plato ให้คำแนะนำและแรงบันดาลใจนักเรียน

Eudoxus (408 – 355 ปีก่อนค.ศ. ) นักเรียนของ Plato ค้นพบวิธี
method of exhaustion หรือการอินทริเกรทแรกเริ่ม และทฤษฏีสัดส่วนที่อธิบายค่าอตรรกยะเป็นส่วนเติมเต็มของแนวคิดที่ไม่สมบูรณ์ของ Pythagoras

Euclid ( 300 ปีก่อนค.ศ. ) แต่งตำรา Element ซึ่งมีการพิสูจน์ผ่าน Axiom นิยาม ทฤษฎีบท และพิสูจน์ ตำราของเขาใช้สอนกันจนถึงกลางยุคศตวรรษที่ 20 และยังมีสอนในวิชาเรขาคณิตที่เรียกว่า Euclidean geometry

Archimedes ( 287–212 ปีก่อนค.ศ.) เขาใช้ method of exhaustion หาค่า
π ได้เป็น 3 10/71 < π < 3 10/70. และประดิษฐ์เกลียว Archimedes คิดค้นการใช้เลขยกกำลังปละหาพื้นที่ผิวและปริมาตรของทรงกลม


Apollonius of Perga (262–190 ปีก่อนค.ศ. )  คิดค้นภาคตัดกรวยและประดิษฐ์ชื่อเรียกต่างๆทั้ง Parabola, ellipse, Hyperbora ทฤษฎีบทของเขามีประโยชน์ต่อนักดาราศาสตร์ยุคต่อมามากรวมถึง Isaac Newton


Eratosthenes of Cyrene (276–194 ปีก่อนค.ศ. ) คิดค้นตารางจำนวนเฉพาะ


Hipparchus of Nicaea (190–120 ปีก่อนค.ศ.)  คิดค้นตรีโกณมิติ และทำตารางตริโกณขึ้นรวมถึงใช้วงกลมขนาด 360 องศาอย่างมีระบบ


Heron of Alexandria (ค.ศ. 10–70) พบความเป็นไปได้ของรากที่สองของจำนวนลบ


Menelaus of Alexandria (ค.ศ.100) ค้นพบ spherical trigonometry


Ptolemy (ค.ศ. 90–168) แต่งตำราตรีโกณมิติที่สมบูรณ์ที่สุด และมีตาราง
ตรีโกณมิติที่นักดาราสาสตร์ใช้กันอีกเป็นพันปีต่อมา และเขาหาค่า π ได้เที่ยงจรงที่สุดนอกจากที่จีน มีค่า 3.1416

Diophantus คิดค้น Diophantine analysis และแต่งตำรา Arithmetica ซึ่งมีอิทธิพลต่อ Pierre de Fermat

 Pappus of Alexandria (ค.ศ. 400) เป็นนักคณิตศาสตร์กรีกคนท้ายๆที่พัฒนาทฤษฎีใหม่ๆ งานของเขาเป็นแหล่งเรียนรู้คณิตศาสตร์ยุคกรีกเพราะงานของเขายังหลงเหลือมายังปัจจุบัน

ต่อมาปี ค.ศ. 529  จักรพรรดิ Justinian ปิดสำนัก Neo-Platonic ทำให้สิ้นสุดการพัฒนาคณิตศาสตร์ยุคกรีก และเข้าสู่ยุค Byzantine  ที่มีการพัฒนาคณิตศาสตร์ที่น้อยมาก โดยการค้นพบในยุคเดียวกับ Byzantine จะพบที่แหล่งอื่นมากกว่า

คณิตศาสตร์ยุคโรมัน

ในยุคโรมันยึดครองกรีก มีนักคณิตศาสตร์เชื้อชาติกรีกมากมายแต่การพัฒนาทางคณิตศาสตร์เกิดขึ้นน้อยมาก

Cicero (106–43 ปีก่อนค.ศ.) เชื่อว่าชาวโรมันต้องการใช้คณิตศาสตร์ประยุกต์มากกว่าคณิตศาสตร์ทฤษฎีและเรขาคณิตที่ชาวกรีกนิยม

ระบบจำนวนฐานสิบของชาวโรมันไม่เป็นที่แน่นอนว่านำมาจากชาวกรีกหรือนพมาจากอารยธรรม Etruscan numerals

ชาวโรมันรู้จักการคำนวณเพื่อคำนวณภาษี พื้นที่ เพื่อประโยชน์ทางการค้าและภาษี รวมถึงงานทางวิสวกรรมทั้งสะพานและถนน

นอกจากนี้การมีปฎิทินของชาวโรมันซึ่งพัฒนามาจากปฏิทินแบบจันทรคติมาสู่สุริยคติในสมัยจักรพรรดิ Julius Caesar (100–44 ปีก่อนค.ศ. ) ใช้ความรู้ทางคณิตศาสตร์ แม้ปฏิทิน Julian calendar ผิดพลาดอยู่ปีละ 11 นาที 14 วินาที ทำให้ในปีค.ศ. 1582 โป๊ป
Pope Gregory XIII ต้องทำการแก้ไขปฏิทินใหม่

นอกจากนี้ชาวโรมันยังใช้ความรู้คณิตศาสตร์ในการประดิษฐ์เครื่องวัดระยะทางอีกด้วย

คณิตศาสตร์ในจีน

คณิตศาสตร์ในจีนมีการพัมนาแยกออกมาด้วยชาวจีนเอง มีหลักฐานตำราคณิตศาสตร์อายุราว 300 ปีก่อนค.ศ. ชาวจีนใช้เลขฐานสิบ

ใน ค.ศ.500 Zu Chongzhi สามารถหาค่า π ถึงทศนิยมที่เจ็ด ในศตวรรษที่ 13 คณิตศาสตร์ในจีนพัฒนาจนถึงขีดสุด พวกเขาสามารถแก้สมการพีชคณิตลำดับสูงได้ และมีการค้นพบสามเหลี่ยมปาสคาล

ต่อมาคริตศาสตร์จีนมีอิทธิพลต่อการศึกษาคณิตศาสตร์ของชาวตะวันออก ทั้งเกาหลี ญี่ปุ่นและเวียตนาม

คณิตศาสตร์ในอินเดีย

คณิตศาสตร์ในอินเดียมีบันทึกย้อนกลับไประหว่าง 800 ปีก่อนค.ศ. ถึงค.ศ. 200 ตำราที่เก่าแก่ที่สุดคือ Sulba Sutras ตำราสอนเรขาคณิตหลายอย่างและบอกวิธีประมารค่า π นอกจากนี้พวกเขายังหาค่ารากที่สองของ 2 ได้หลายตำแหน่งรวมถึงมีการแสดงทฤฤษฎีบทปีทาโกรัสอีกด้วย

ต่อมามีการทำตำราดาราศาสตร์ Siddhantas ซึ่งพูดถึงความรู้ทางตรีโกณมิติ

ในช่วงค.ศ.700 Brahmagupta สร้างการใข้เลข 0 และเลขฐานสิบซึ่งต่อมานักคณิตศาสตร์อิสลามนำไปสร้างเลขอารบิกและใช้มาจนถึงปัจจุบัน

ในช่วงค.ศ.1000 Halayudha ศึกษาลำดับ Fibonacci และ สามเหลี่ยม Pascal และอธิบายการใช้ Matrix

ในช่วงค.ศ 1200 Bhāskara II ได้คิดค้น calculus และการใช้อนุพันธ์ขึ้น

ในช่วงค.ศ 1400 Madhava of Sangamagrama, ผู้ก่อตั้งสำนักคณิตศาสตร์ Kerala School of Mathematics ค้นพบอนุกรม Madhava–Leibniz serie และใช้คำนวณค่า
π  ได้เท่ากับ 3.14159265359. นอกจากนี้ยังพบอนุกรม the Madhava-Gregory series ในการหาค่า arctangent รวมถึงอนุกรม Madhava-Newton power series  ในการหาค่าsine และ cosine และยังพบ  the Taylor approximation ในการหาฟังก์ชั่นsine และ cosine

มีการโต้เถึยงกันว่าสำนัก Kerala ส่งต่อความรู้ทาง calculus ไปสู่ยุโรปและทำให้เกิดความรู้ Calculus ในยุโรปหรือไม่ แม้มีผู้แย้งว่าสำนัก Kerala ยังไม่ได้พัฒนาการ Differentiation และ Integration ก็ตาม

คณิตศาสตร์ในอิสลาม

ตำราคณิตศาสตร์อิสลามเขียนในภาษาอารบิกซึ่งเป็นที่นิยมในสมัยนั้น ในศตวรรษที่ 9 นักคณิคศาสตร์อิสลาม Muḥammad ibn Mūsā al-Khwārizmī แต่งตำรา On the Calculation with Hindu Numerals ทำให้คณิตศาสคร์อินเดียกระจายสู่ตะวันตก

คำว่า algorithm มาจากภาษาละตินที่เป็นชื่อของเขา และคำว่า algebra มาจากชื่อตำราของเขา Al-Kitāb al-mukhtaṣar fī hīsāb al-ğabr wa’l-muqābala เขาเป็นผู้อธิบายการแก้สมการกำลังสอง การดุลสมการที่เท่ากันสองข้าง

ในอียิปต์ Abu Kamil ได้ขยาย Algebra ไปยังจำนวนอตรรกยะ งานของเขามีอิทธิพลต่อ
al-Karaji และ Fibonacci ต่อมา

Al-Karaji พัฒนา Algebra ต่อโดยใช้การอุปนัยทางคณิตศาสตร์ในการพิสูจน์
 binomial theoremPascal’s triangle, และผลรวม integral cubes ในศตวรรษที่ 10 ซึ่งได้รับยกย่องว่าเป็นคนแรกที่พัมนาทฤษฎี algebraic calculus

ในศตวรรษที่ 11 Omar Khayyam แต่งตำราวิเคราะห์ ปัญหาเรื่องเส้นขนานของ Euclid ใน Discussions of the Difficulties in Euclid เขายังพบวิธีแก้สมการกำลัง 3 และการปฏิวัติปฏิทิน

ในศตวรรษที่ 13 Nasir al-Din Tusi พัฒนา spherical trigonometry.

ในศตวรรษที่ 15 Ghiyath al-Kashi คำนวณค่า π ได้ 16 ตำแหน่งและคิดวิธีหาค่า รากที่ n ที่เป็นกรณีพิเศษของ Ruffini และ Horner ในอีกหลายร้อยปีต่อมา

นอกจากนี้คณิตศาสตร์อิสลามยังพัฒนาเลขทศนิยม ค้นพบฟังก์ชั่นสมัยใหม่ทั้งหมดของ
 trigonometric functions พัฒนาเรขาคณิตวิเคราะห์ algebraic geometry และ algebraic notation

หลังการเข้าครองของอาณาจักร  Ottoman Empire คณิตศาสตร์อิสลามก็หยุดพัฒนา

คณิตศาสตร์ของชาวมายา

ชาวมายาพัฒนาคณิตศาสตร์โดยไม่ได้รับอิทธิพลมาจากอารยธรรมใด พวกเขาใช้เลขฐาน 20 และมีการประดิษฐ์เลข 0 ใข้

คณิตศาสตร์ในยุคกลาง

ในศตวรรษที่ 6 Boethius จัดสถานที่ศีกษาคณิตศาสตร์และเรียกการเรียน
arithmetic, geometry, astronomy, และ music ว่า quadrivium เขาแต่งตำรา De institutione arithmetica และ De institutione musica ที่แปลมาจากภาษากรีก

ในศตวรรษที่ 12 ชาวยุโรปเดินทางไปยังสเปนและ Sicily เพื่อหาตำราภาษาอารบิกและแปลตำรา The Compendious Book on Calculation by Completion and Balancing และ Euclid’s Elements,

Fibonacci ได้แต่งตำรา Liber Abaciในปี 1202 เกี่ยวกับลำดับ Fibonacci

ในศตวรรษที่ 14 มีการพัฒนาคณิตศาสตร์เกี่ยวกับการเคลื่อนที่
Thomas Bradwardine พบว่า ความเร็วเพิ่มแบบเรขาคณิตกับแรงและแรงเสียดทาน

และ William Heytesbury, เสนอว่าเราสามารถหาความเร็วขณะใกขณะหนึ่งได้ถ่าความเร่งคงที่ซึ่งเราหาได้จากการอินทิเกรคในปัจจุบัน

Nicole Oresme และ Giovanni di Casali พบว่าพื้นที่ใต้กราฟตวามเร่งคงที่เท่ากับระยะทางที่เคลื่อนที่

คณิตศาสตร์สมัยฟื้นฟูศิลปวิทยาการ

ในสมัยนี้คณิตศาสตร์และบัญชีเกี่ยวข้องกัน แม้จะไม่ต้องใช้คณิศาสตร์ชั้นสู. แต่การคำนวณดอกเบี้ยทบต้นก็มีการใช้การคำนวณแบบเลขคณิต

Luca Pacioli แต่งตำรา Summa de Arithmetica, Geometria, Proportioni et Proportionalità และมีการใช้สัญลักษณ์ บวก ลบ เป็นครั้งแรกในการพิมพ์

ในศตวรรษที่ 16  Gerolamo Cardano พิมพ์วิธีแก้สมการกำลังสามและกำลังสี่ ในปี
1572 Rafael Bombelli พิมพ์ตำรา L’Algebra เกี่ยวกับเลขจินตภาพซึ่งอาจปรากฎเป็นคำตอบสมการกำลังสามของ Cardano

Simon Stevin‘ พิมพ์หนังสือ De Thiende แนะนำระบบทศนิยมซึ่งใช้ในระบบจำนวนตริงต่อมา

ศิลปินในยุตฟื้นฟูศิลปวิทยาการเรียนรู้คณิตศาสตร์เพราะพวกเขาเป็นวิศวกรและสถาปนิกด้วย

คณิตศาสตร์ศตวรรษที่ 17

ในสมัยนี้วิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์พัฒนามากมีการค้นพบกฎการเคลื่อนที่ของ Kepler ต่อมาการพัฒนาเรขาคณิตวิเคราะห์โดย René Descartes (1596–1650) ทำให้การเคลื่อนที่ของดาวเคราะห์สามารถวาดบนกราฟได้

Isaac Newton สามารถอธิบายกฎแรงโน้มถ่วงได้และพัฒนา calculus ขึ้น ในช่วงใกล้กัน
Gottfried Wilhelm Leibniz, ก็พัฒนา calculus ได้เช่นกัน เขายังปรับปรุงระบบฐานสองที่พัฒนาต่อมาเป็นสถาปัตยกรรมคอมพิวเตอร์เช่น Von Neumann architecture ที่ใช้มาถึงศตวรรษที่ 21 Leibniz  จึงเป็นบิดาของวิทยาการคอมพิวเตอร์

นอกจากนี้ Pierre de Fermat และ Blaise Pascal ยังพัฒนาทฤษฏีความน่าจะเป็นขึ้นอีกด้วย

คณิตศาสตร์ศตวรรษที่ 18

นักคณิตศาสตร์คนสำคัญในศตวรรษที่ 18 คือ Leonhard Euler (1707–1783) เขาเป้นคนพัมนา topology, graph theory, calculus, combinatorics, และcomplex analysis ดังจะพบว่ามีทฤษฎีที่ตั้งตามชื่อเขามากมาย

นอกจากนี้ยังมีนักคณิตศาสตร์ Joseph Louis Lagrange ที่พัฒนาnumber theory, algebra, differential calculus, และ the calculus of variations
Laplace ผู้สร้างกลศาสตร์เทหวัตถุและสถิติ

คณิตศาสตร์ศตวรรษที่ 19

คณิตศาสตร์ในสตวรรษนี้เป็นนามธรรมมากขึ้น นำโดย Carl Friedrich Gauss (1777–1855)  เขาปฏิวัติ functions ของ complex variables, ใน geometry และการลู่เข้าของอนุกรม

ต่อมามีการพัฒนาเรขาคณิตแบบ non-Euclidean geometry ขึ้น โดย
 Nikolai Ivanovich Lobachevsky และ János Bolyai, พัฒนา hyperbolic geometry ซึ่งผลรวมมุมของสามเหลี่ยมน้อยกว่า 180 และต่อมา Bernhard Riemann พัฒนา Elliptic geometry ซึ่งผลรวมมุมของสามเหลี่ยมมากกว่า 180 ซึ่งเขารวมเอาเรขาคณิตทั้งสามแบบไว้เรียกว่า Riemannian geometry, และสร้างแนวคิด
manifold เพื่ออธิบายส่วนโค้วและพื้นผิว

มีการพัฒนาคณิตศาสตร์นามธรรมอื่นๆเช่น abstract algebra noncommutative algebra. Boolean algebra และ Augustin-Louis CauchyBernhard Riemann, แฃะ Karl Weierstrass ทำการพิสูจน์ Calculus แบบเคร่งครัด

Niels Henrik Abel, และ Évariste Galois พิสูจน์ว่าไม่สามารถสร้างสูตรทั่วไปในการแก้สมการพหุนามมากกว่ากำลังสี่ และนำไปสู่ group theory, ที่นักฟิสิกส์ในศควรรษที่ 20 ใช้ศึกษาความสมมาตร

ในตอนท้ายของศตวรรษที่ 19 Georg Cantor พัฒนา set theory ต่อมา
PeanoL.E.J. BrouwerDavid HilbertBertrand Russell, และ A.N. Whitehead พัฒนา mathematical logic

และในศวรรษนี้มีการก่อตั้งสมาคมคณิตศาสตร์มากมายทั้งนานาชาติและท้องถิ่น

คณิตศาสตร์ศตวรรษที่ 20

ในศตวรรษนี้คณิตศาสตร์มีความเป็นอาชีพมากขึ้น มีงานและผู้สำเร็จปริญญาเอกด้านนี้มากขึ้น ความรู้ด้านคณิตศาสตร์เริ่มด้วยปัญหาของ Hillbert

Differential geometry มีการสนใจจากการปรากฎในทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป คณิตศาสตร์ใหม่ๆอย่าง mathematical logictopology, และ John von Neumann‘s game theory ซึ่งใช้ Axiom ใหม่ๆ นำไปสู่ Category theory

Measure theoryนำไปสู่ Kolmogorov‘s axiomatisation of probability theory,  และ ergodic theoryKnot theory  Quantum mechanics ทำให้เกิด
functional analysis นอกจากนี้ยังมีทฤฏีเช่น Laurent Schwartz‘s distribution theoryfixed point theorysingularity theory และ René Thom‘s catastrophe theorymodel theory, และ Mandelbrot‘s fractalsLie theory และ Lie groups และLie algebras

Non-standard analysis, นำไปสู่ Hyperreal numbers และค้นพบ
 surreal numbers

การพัฒนาคอมพิวเตอร์ ทำให้พัฒนาทฤษฎีอย่าง Alan Turing‘s computability theorycomplexity theory; และ Lucas-Lehmer testRózsa Péter‘s recursive function theoryClaude Shannon‘s information theorysignal processingdata analysisoptimization และด้านอื่นๆของ operations research

คณิตสาสตร์แบบ Discrete มีการพัฒนามากทั้ง combinatorics และgraph theory. ทำให้เกิด numerical analysis และsymbolic computation. วิิธีการทางคณิตศาสตร์ที่สำคัญในศตวรรษนี้เช่น simplex algorithm, fast Fourier transformerror-correcting codes, Kalman filter จาก control theory และ RSA algorithm of public-key cryptography.

ต่อมา Gödel พบทฤษฎีบท incompleteness theorems คือ ในระบบคณิตศาสตร์ที่มี
Peano arithmetic  ทั้งเรขาคณิตและการวิเคราะห์ทั้งหมด จะมีกรณีเช่นบางนิยามจะไม่สามารถพิสูจน์ได้

Srinivasa Aiyangar Ramanujan (1887–1920) พบทฤษฎีกว่า 3000 ทฤษฎี ทั้ง
highly composite numbers, partition function และ asymptotics, และ mock theta functions รวมถึง gamma functionsmodular formsdivergent serieshypergeometric series และ prime number

Paul Erdős ตีพิมพ์ผลงานกับนักคณิตศาสตร์มากกว่าใครในโลก

Emmy Noether เป็นผู้หญิงคนสำคัญทางคณิตศาสตร์เธอศึกษาทฤษฎี ringsfields, และ algebras.

การเกิดความรู้เฉพาะมากมายทำให้ Mathematics Subject Classification มีหลายหน้ามากและมี mathematical journals ตีพิมพ์มาก ก่อนที่ปลายศตวรรษจะเกิด
World Wide Web และทำให้เกิดการตีพิมพ์ออนไลน์

คณิตศาสตร์ศตวรรษที่ 21

ในปี 2000 Clay Mathematics Institute ประกาศปัญหา
Millennium Prize Problems 7 ข้อ ซึ่งในปี 2003 ปัญหา Poincaré conjecture ได้รับการแก้โดย  Grigori Perelman

mathematical journals มีทั้งฉบับตีพิมพ์และออนไลน์ และบางฉบับก็มีแต่แบบออนไลน์ ในขณะที่มีการผลักดันให้เกิด open access publishing, นำโดย arXiv.

คณิตศาสตร์ในอนาคต

มีกระแสทางคณิตศาสตร์เกิดขึ้นหลายแบบมาก การเติบโตของข้อมูลและพัฒนาของคอมพิวเตอร์จะทำให้การประยุกต์ทางคณิตศาสตร์มีมากขึ้นแบบก้าวกระโดด